+ : si X est une variable aléatoire à valeur positive, alors d ⋯ k x }, qui signifie que 0 ∑ − + d Or et , d'après la définition d'une loi marginale. Exemple de calcul : {\displaystyle \mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\int _{\Omega }\varphi \left(X(\omega )\right)\mathrm {d} \mathbb {P} (\omega )=\int _{F}\varphi (x)\mathrm {d} \mathbb {P} _{X}(x). Ω + Plus généralement, si φ {\displaystyle \varphi } est positive, continu… ) {\displaystyle \varphi (0)=0} k ∞ 36 ( ) mathématique se calcul à partir de la densité P Définition —  i y 6 m k {\displaystyle \mathbb {E} (aX+bY)=a\mathbb {E} (X)+b\mathbb {E} (Y)}. ⋅ ) {\displaystyle \varphi } α 1 ∞ Si X est une variable aléatoire positive ou nulle, alors E ( X ) = ∫ 0 + ∞ P ( X ≥ x ) d x = ∫ 0 + ∞ P ( X > x ) d x {\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{0}^{+\infty }\mathbb {P} (X\geq x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }\mathbb {P} (X>x)\,\mathrm {d} x} . , p2 ( x ) 0 ) [ ( Y ∑ = 2 x {\displaystyle \mathbb {P} } , x3, ) E x X le nombre réel noté E(X) défini par : = ) ( = ( 1 P , X , et si + | {\displaystyle \mathbb {E} [X^{\alpha }]=\int _{0}^{+\infty }\alpha x^{\alpha -1}\mathbb {P} (X\geq x)\,\mathrm {d} x} ( Puisque l'on peut définir une grandeur (l'espérance) comparable à la moyenne on peut également définir des grandeurs qui en dérivent telles que la variance et l'écart type. E x | 1 Y = P(X g ( Y x ) Ω 6 L'espérance conditionnelle E( X | Y) est elle-même une variable aléatoire, dont la valeur dépend de la valeur de Y. À noter que l'espérance conditionnelle de X sachant l'événement [Y = y] est une fonction de y.Si on note E( X | Y = y) = g(y), alors la variable aléatoire E( X | Y) est tout simplement g(Y). | X Dans certains cas, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. ∞ E ∞ . ∫ = ⋅ Émile Borel adopta cette notion d'utilité pour expliquer qu'un joueur ayant peu de ressources choisisse rationnellement de prendre un billet de loterie chaque semaine : la perte correspondante n'est en effet pour lui que quantitative, tandis que le gain – si gain il y a – sera qualitatif, sa vie entière en étant changée. P Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ». x M Si le jeu s'interrompt à un moment où chacun des deux joueurs a la même chance de gagner, il est équitable de répartir les 64 pistoles à parts égales entre chaque joueur, mais si la partie s'interrompt alors qu'un des joueurs a pris un avantage, la répartition doit se faire autrement. ( : Si deux variables X et Y d'espérances mathématiques En théorie des probabilités, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle est, intuitivement, la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Cette somme converge vers ln(2) ≃ 0,69315. 0 6 un nombre fini de valeurs x1 k X Si la variable X prend une infinité dénombrable de valeurs x1, x2, ..., avec les probabilités p1, p2, ..., l'espérance de X est définie comme ω ( Il imagine ainsi un jeu de pile ou face et un pot commun de 64 pistoles, le premier joueur à voir apparaître trois fois la face qu'il a choisie remporte la mise. : ) ! ​Forme fonctionnelle y=ax+by=ax+b où a=ΔyΔx=y2−y1x2−x1a=ΔyΔx=y2−y1x2−x1 Forme générale 0=Ax+By+C0=Ax+By+C où A,B,C∈ZA,B,C∈Z. x X ) ) = P(X = On définit l'espérance mathématique d'une variable aléatoire comme étant la somme des produits des valeurs d'une variable aléatoire par leur probabilité. y Elle correspond à une moyenne pondérée des valeurs que peut prendre cette variable. X + 1 [ X L'espérance mathématique est une valeur numérique permettant de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard. n En notant ses valeurs x1, ..., xn et p1, ..., pn les probabilités correspondantes, l'espérance devient : E , ....., ⋅ ∫ = μ ) = x1) Dans ce cas une variable aléatoire peut trés bien ne Il envisage alors ce qu'aurait été le coup suivant : Pour Pascal, le joueur ayant misé sur P doit obtenir 32 pistoles à coup sûr mais a une chance sur deux de gagner 32 pistoles supplémentaires. = x2) Variable continue : 1 Pour la variance, tu peux calculer l’intégrale de x²f(x) sur [2 ;4] en utilisant une méthode analogue. ∞ B k et se lit « espérance de X ». M d Mais, en renouvelant mille fois ou dix mille fois le lancer, les résultats se répartissent presque équitablement entre les différents nombres de 1 à 6. x ) 18 ) = φ Désignons par El’ensemble de toutes les variables aléatoires réelles étagées définies sur :A tout élément Xde Enous associons un nombre appelé espérance mathématique de X, noté IE(X), et E ( = n ∑ ∑ 12 Propriétés de l'espérance et de la variance : les formules Précédent Suivant. Dans ce cas, l’espérance mathématique se calcule de la façon suivante : la probabilité d’obtenir un 6 est 1 6; si vous gagnez, votre gain sera de 10 × 0, 50 $ × 1 6, soit environ 0,83 $; comme vous dépensez à chaque lancer une mise de 0,50 $, votre gain net sera de 0,33 $, soit : 0,83 – 0,50 = 0,33, en moyenne. + Poincaré aurait pesé sur une grande période le pain acheté chez son boulanger et aurait trouvé que son poids moyen était largement inférieur à 1 kg. ( suivant une loi Binomiale de paramètre n et p : d F Définition Soit (;A;P) un espace de probabilité. }, E P ≡ E ] ) = xn) Elle se note $${\displaystyle \mathbb {E} (X)}$$ et se lit « espérance de X ». 1 ( , = Plutôt que de passer par une notion de prime, on peut directement établir une fonction d'utilité, associant à tout couple {gain, probabilité} une valeur. Variable discrète prenant un nombre infini de valeurs : {\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{\Omega }X(\omega )\mathrm {d} \mathbb {P} (\omega )=\int _{\mathbb {R} }x\mathrm {d} \mathbb {P} _{X}(x).} La notion d'espérance est popularisée par Christian Huygens dans son Traité du hasard de 1656 sous le nom de « valeur de la chance ». ) x + ≈ ) Y ) . ] p Espérance Espérance C2 = 72 Variance C2 = 376 Ecart type C2 = 19.3907194 C'3 P(C'3) C'3 P(C'3) C'3² C'3² P(C'3) 40 0.4 16 1600 640 50 0.2 10 2500 500 120 0.4 48 14400 5760 Somme 74 6900 Espérance Espérance C3 = 74 Variance C3= 1424 Ecart type C3= 37.7359245 Projet 2 = Espérance : indicateur de chance ou de risque moyen. On montre les propriétés suivantes : E(X+Y) = E(X) + E(Y) E(aX) = a E(X) , a = constante. X 4 L'espérance mathématique constitue alors la plus simple des fonctions d'utilité, appropriée dans le cas d'un joueur neutre au risque disposant de ressources au moins très grandes à défaut d'infinies. + ) ou = i Propriétés. E i X [ = Plus généralement, si g N(0 ; 1) : Propriétés de l'espérance mathématique on appelle espérance mathématique de la variable aléatoire | Ce résultat signifie qu'en moyenne, le joueur perd 2,7 % de sa mise à chaque jeu et inversement que le casino gagne en moyenne 2,7 % de la mise de chaque joueur. ( α ] 1 ) {\displaystyle X} X Si X représente le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre 1 avec un dé cubique, on démontre que E(X) = 6 ce qui veut dire qu'il faut en moyenne 6 lancers pour obtenir le chiffre 1. Propriétés de l'espérance mathématique : si X est une variable aléatoire à valeur positive, alors E(X) 0. L'espérance d'une variable aléatoire constante est égale à cette constante ; par exemple, si, La notion de prime de risque appliquée à l'espérance mathématique fut en, L'espérance mathématique, comme d'autres concepts probabilistes, est utilisée dans les calculs d'évaluation en. définit une nouvelle variable aléatoire réelle P = Ainsi, une variable aléatoire est dite centrée si son espérance est nulle. Elle apparaît souvent dans la peinture occidentale avec pour effet de donner un caractère romantique au...) qui conduisirent, à partir de son " paradoxe de Saint Petersbourg ", le mathématicien(Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son...) Daniel Bernoulli à introduire en 1738 l'idée … , x2 p1 En pratique : Quelles sources sont attendues ? On peut donc interpréter l'espérance comme la valeur moyenne que l'on peut "espérer" obtenir en répétant une exprérience aléatoire un nombre de fois assez grand. = ∫ P , θ P La dernière modification de cette page a été faite le 9 août 2020 à 13:40. ∑ ∑ ∞ ) , Si X est constante (X = l), E(X | Y) = l. ] Ω ( X 0 d ( x Afficher les propriétés Répondre. ( Propriétés Caractérisation de l'espérance conditionnelle. − un nombre infini de valeurs x1 Pour toute constante , (trivial) Pour toute constante , (trivial) (démonstration hors programme) Démonstration Montrons d'abord que si et si existent, alors, aussi. ( {\displaystyle u